4. Пусть n > 1 — целое число. В одной из клеток бесконечной белой клетчатой доски стоит ладья. Каждым ходом она сдвигается по доске ровно на n клеток по вертикали или по горизонтали, закрашивая пройденные n клеток в чёрный цвет. Сделав несколько таких ходов, не проходя никакую клетку дважды, ладья вернулась в исходную клетку. Чёрные клетки образуют замкнутый контур. Докажите, что число белых клеток внутри этого контура даёт при делении на n остаток 1.

Каждый ход соответствует стороне длины n на квадратной решётке. Рассмотрим полученный замкнутый контур как границу области на клетчатой доске. Вершины контура имеют координаты, кратные n, поэтому площадь области, измеренная в единичных клетках, кратна n².

Обозначим через B число граничных клеток, а через I — число белых клеток внутри контура. По формуле Пика для области с решётчатой границей площадь равна I + B/2 − 1. Каждый ход закрашивает n клеток границы; поскольку клетки не проходятся дважды, число граничных клеток B кратно n. Кроме того, площадь кратна n², а граничные участки имеют длины, кратные n. Из формулы следует, что I ≡ 1 (mod n).

Итак, число белых клеток внутри контура при делении на n даёт остаток 1.

Что и требовалось доказать.