1. Тип 13 № 528987 а) Решите уравнение (√2sinx + √cosx)^2 + 2cosx = 3.2

Преобразуем уравнение: $$(√2sinx + √cosx)^2 + 2cos x = 3.2$$ $$2sin^2x + 2 \sqrt{2}sin x cos x + cos^2x + 2cos x = 3.2$$ $$2sin^2x+ cos^2x + 2\sqrt{2}sin x cos x + 2cos x = 3.2$$ Используем основное тригонометрическое тождество: $$sin^2x + cos^2x=1$$: $$sin^2x+1+ 2\sqrt{2}sin x cos x + 2cos x = 3.2$$ $$sin^2x+ 2\sqrt{2}sin x cos x + 2cos x = 2.2$$ Это уравнение сложно решить аналитически. Обычно в таких заданиях есть решения в виде простых значений углов, например $$\frac{\pi}{4}$$, $$0$$, $$\frac{\pi}{2}$$, $$\frac{\pi}{6}$$. Проверим подстановкой $$x = \frac{\pi}{4}$$: $$sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ и $$cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$(√2 * \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2})^2 + 2*\frac{\sqrt{2}}{2} = (1+\frac{\sqrt{2}}{2})^2+\sqrt{2} = 1+ sqrt{2} + \frac{1}{2} + \sqrt{2} = 1.5+2\sqrt{2} \approx 4.3$$ Не подходит. Проверим x=0 $$(√2*0 + √1)^2 + 2*1 = 1+2=3 $$ - не подходит Проверим x=π/2 $$(√2*1 + 0)^2+2*0=2$$ - не подходит Учитывая, что $$3.2=\frac{16}{5}$$ и из вида уравнения и ответов, скорее всего $$x=\frac{π}{6}$$ - решение. Проверим подстановкой: $$sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$$ $$cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$(\sqrt{2} * \frac{1}{2} + \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}})^2 + 2 * \frac{\sqrt{3}}{2} = (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}})^2 + \sqrt{3}$$ $$x = \frac{\pi}{4}$$ не подходит. Похоже, что в условии ошибка. Проверим, возможно ли решение при условии $$(\sqrt{2}sin(x) + \sqrt{cos(x)})^2 + 2cos(x) = 3. $$ В таком случае при $$x = 0$$: $$(\sqrt{2}sin(0) + \sqrt{cos(0)})^2 + 2cos(0) = (0+1)^2+2=3$$ Тогда $$x=0$$ - решение Если считать, что условие верно и оно такое: $$(\sqrt{2}sin(x) + \sqrt{cos(x)})^2 + 2cos(x) = 3.2$$, то аналитического решения нет, и его нужно искать приближенно. Скорее всего, в условии ошибка, и $$3.2$$ должно быть $$3$$. Если предположить, что условие: $$(\sqrt{2}sin(x) + \sqrt{cos(x)})^2 + 2cos(x) = 3$$. Тогда $$x=0$$ - решение. **Ответ:** Если предположить, что условие $$(\sqrt{2}sin(x) + \sqrt{cos(x)})^2 + 2cos(x) = 3$$, то $$x=0$$ - решение.