1. Три друга сдают зачет. Вероятность сдать зачет 1-ому равна 0,9, 2-ому – 0,8, 3-ему – 0,6. Какова вероятность сдать зачет: 1) ровно двум друзьям; 2) не более чем одному другу; 3) не более чем двум друзьям?

Решение:

Пусть A, B, C — события, состоящие в том, что первый, второй и третий друг соответственно сдадут зачет. Тогда:

• P(A) = 0.9, P(не A) = 1 - 0.9 = 0.1
• P(B) = 0.8, P(не B) = 1 - 0.8 = 0.2
• P(C) = 0.6, P(не C) = 1 - 0.6 = 0.4

1) Вероятность, что сдадут зачет ровно двое:

• Случай 1: A и B сдали, C не сдал: P(A)P(B)P(не C) = 0.9  0.8  0.4 = 0.288
• Случай 2: A и C сдали, B не сдал: P(A)P(не B)P(C) = 0.9  0.2  0.6 = 0.108
• Случай 3: B и C сдали, A не сдал: P(не A)P(B)P(C) = 0.1  0.8  0.6 = 0.048

Суммируем вероятности этих несовместных случаев:

0.288 + 0.108 + 0.048 = 0.444

2) Вероятность, что сдаст зачет не более чем один друг:

• Случай 1: Сдаст только A: P(A)P(не B)P(не C) = 0.9  0.2  0.4 = 0.072
• Случай 2: Сдаст только B: P(не A)P(B)P(не C) = 0.1  0.8  0.4 = 0.032
• Случай 3: Сдаст только C: P(не A)P(не B)P(C) = 0.1  0.2  0.6 = 0.012
• Случай 4: Никто не сдаст: P(не A)P(не B)P(не C) = 0.1  0.2  0.4 = 0.008

Суммируем вероятности этих несовместных случаев:

0.072 + 0.032 + 0.012 + 0.008 = 0.124

3) Вероятность, что сдадут зачет не более чем двое:

Это противоположное событие тому, что сдадут зачет все трое. Вероятность того, что сдадут все трое:

P(A)P(B)P(C) = 0.9  0.8  0.6 = 0.432

Вероятность того, что сдадут не более чем двое:

1 - P(все трое) = 1 - 0.432 = 0.568

Финальный ответ:

• 1) 0.444
• 2) 0.124
• 3) 0.568