5. Страховая фирма заключила 1000 договоров. Вероятность страхового случая по каждому в течении года составляет 0,2%. Найти вероятность того, что таких случаев будет: 1) ровно 4; 2) не более 5?

Решение:

Это задача на биномиальное распределение. Вероятность страхового случая P(случай) = 0.2% = 0.002. Количество договоров n = 1000.

Так как n велико (1000) и p мало (0.002), можно использовать пуассоновское приближение биномиального распределения. Параметр лямбда (среднее число случаев) λ = n  p = 1000  0.002 = 2.

Формула распределения Пуассона:

\[ P(X=k) = \frac{λ^k  e^{-λ}}{k!} \]

где k - количество случаев.

1) Вероятность того, что будет ровно 4 страховых случая (k=4):

\[ P(X=4) = \frac{2^4  e^{-2}}{4!} = \frac{16  e^{-2}}{24} = \frac{2}{3}  e^{-2} \]

Используя значение e⁳² ≈ 0.1353:

\[ P(X=4) ≈ \frac{2}{3}  0.1353 ≈ 0.0902 \]

2) Вероятность того, что будет не более 5 случаев (k ≤ 5):

P(X ≤ 5) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)

• P(X=0) = ⁰! /  e⁳² ≈ 0.1353
• P(X=1) = (2¹  e⁳²) / 1! = 2  e⁳² ≈ 0.2706
• P(X=2) = (2²  e⁳²) / 2! = (4  e⁳²) / 2 = 2  e⁳² ≈ 0.2706
• P(X=3) = (2³  e⁳²) / 3! = (8  e⁳²) / 6 = 4/3  e⁳² ≈ 0.1804
• P(X=4) ≈ 0.0902 (рассчитано выше)
• P(X=5) = (2⁵  e⁳²) / 5! = (32  e⁳²) / 120 = 4/15  e⁳² ≈ 0.03608

Суммируем вероятности:

0.1353 + 0.2706 + 0.2706 + 0.1804 + 0.0902 + 0.03608 ≈ 0.98318

Финальный ответ:

• 1) ≈ 0.0902
• 2) ≈ 0.9832