4. Статистика аудиторских проверок компании утверждает, что вероятность обнаружения ошибки в каждом проверяемом документе равна 0,3. Какова вероятность того, что из 9 проверяемых документов: 1) ровно 4 будут без ошибок; 2) большинство будет без ошибок?

Решение:

Это задача на биномиальное распределение. Пусть X - случайная величина, равная количеству документов без ошибок. Вероятность обнаружить ошибку в одном документе P(ошибка) = 0.3. Следовательно, вероятность не обнаружить ошибку (документ без ошибок) P(без ошибок) = 1 - 0.3 = 0.7. Количество испытаний n = 9.

Формула биномиального распределения:

\[ P(X=k) = C_n^k  p^k  (1-p)^{n-k} \]

где n - число испытаний, k - число 'успехов' (в данном случае - документов без ошибок), p - вероятность 'успеха' (документ без ошибок).

В нашем случае, n = 9, p = 0.7.

1) Вероятность того, что ровно 4 будут без ошибок (k=4):

\[ P(X=4) = C_9^4  (0.7)^4  (0.3)^{9-4} \]

\[ C_9^4 = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9  8  7  6}{4  3  2  1} = 9  2  7 = 126 \]

\[ P(X=4) = 126  (0.7)^4  (0.3)^5 \]

\[ P(X=4) = 126  0.2401  0.00243 \]

\[ P(X=4) ≈ 0.07378 \]

2) Вероятность того, что большинство будет без ошибок:

Большинство из 9 документов - это более половины, то есть 5, 6, 7, 8 или 9 документов без ошибок.

P(большинство без ошибок) = P(X=5) + P(X=6) + P(X=7) + P(X=8) + P(X=9)

Вычислим каждое слагаемое:

• P(X=5) = C_9^5  (0.7)^5  (0.3)^4 = 126  0.16807  0.0081 ≈ 0.17153
• P(X=6) = C_9^6  (0.7)^6  (0.3)^3 = 84  0.117649  0.027 ≈ 0.26683
• P(X=7) = C_9^7  (0.7)^7  (0.3)^2 = 36  0.0823543  0.09 ≈ 0.26683
• P(X=8) = C_9^8  (0.7)^8  (0.3)^1 = 9  0.05764801  0.3 ≈ 0.15564
• P(X=9) = C_9^9  (0.7)^9  (0.3)^0 = 1  0.040353607  1 ≈ 0.04035

Суммируем вероятности:

0.17153 + 0.26683 + 0.26683 + 0.15564 + 0.04035 ≈ 0.90118

Финальный ответ:

• 1) ≈ 0.07378
• 2) ≈ 0.90118