6. Посажено 400 саженцев. Вероятность любому из них прижиться и вырасти равна 0,8. Какова вероятность, что из 400 приживутся и вырастут: 1) ровно 350; 2) не менее 300?

Решение:

Это задача на биномиальное распределение. Количество испытаний n = 400. Вероятность 'успеха' (прижиться и вырасти) p = 0.8. Вероятность 'неудачи' q = 1 - p = 1 - 0.8 = 0.2.

Так как n велико (400), можно использовать нормальное приближение биномиального распределения.

Найдем математическое ожидание (μ) и среднее квадратическое отклонение (σ):

• μ = n  p = 400  0.8 = 320
• σ = √(n  p  q) = √(400  0.8  0.2) = √(64) = 8

1) Вероятность того, что приживутся ровно 350 саженцев:

Для точного расчета ровно 350, лучше использовать биномиальную формулу, но для приближения можно использовать нормальное распределение с поправкой на непрерывность (интервал от 349.5 до 350.5).

\[ Z = \frac{X - μ}{σ} \]

\[ Z_{349.5} = \frac{349.5 - 320}{8} = \frac{29.5}{8} ≈ 3.6875 \]

\[ Z_{350.5} = \frac{350.5 - 320}{8} = \frac{30.5}{8} ≈ 3.8125 \]

Вероятность P(X=350) ≈ P(3.6875 ≤ Z ≤ 3.8125). Это очень малая вероятность, близкая к 0, так как значение Z находится далеко от среднего.

Более точный расчет по биномиальной формуле:

\[ P(X=350) = C_{400}^{350}  (0.8)^{350}  (0.2)^{50} \]

Этот расчет сложен без специальных инструментов, но значение будет крайне малым.

2) Вероятность того, что приживутся не менее 300 саженцев (X ≥ 300):

Используем нормальное приближение с поправкой на непрерывность. Нижняя граница интервала будет 299.5.

\[ Z = \frac{299.5 - 320}{8} = \frac{-20.5}{8} ≈ -2.5625 \]

Нам нужна вероятность P(Z ≥ -2.5625). По таблице нормального распределения, эта вероятность равна примерно 0.9948.

P(X ≥ 300) ≈ P(Z ≥ -2.5625) ≈ 0.9948

Финальный ответ:

• 1) Вероятность того, что приживутся ровно 350 саженцев, крайне мала и близка к 0.
• 2) Ответ: ≈ 0.9948