Ответ:

После покупки осталось: \(3400 - 3400 \cdot 0{,}55 = 1530\) рублей.

После того как Паша отдал сестре 510 рублей, осталось: \(1530 - 510 = 1020\) рублей.

На поездку он сдал половину этой суммы, поэтому у него осталось: \(1020 \cdot 0{,}5 = 510\) рублей.

Ответ: 510 рублей.