1. Упростите выражение: a) 3⁷ · 3⁻⁴ : 3²; б) 1,5a³b⁻² · 2,4a⁻¹b³; в) (⅔a⁻⁴b⁻³)⁻².

Решение:

1. 
   

   а) Используем свойства степеней:

   
   

   \( 3^7 \cdot 3^{-4} : 3^2 = 3^{7 + (-4) - 2} = 3^{7 - 4 - 2} = 3^1 = 3 \)

   
   


2. 
   

   б) Перемножаем числовые коэффициенты и отдельно переменные, используя свойства степеней:

   
   

   \( 1.5 a^3 b^{-2} \cdot 2.4 a^{-1} b^3 = (1.5 \cdot 2.4) \cdot (a^3 \cdot a^{-1}) \cdot (b^{-2} \cdot b^3) \)

   
   

   \( (1.5 \cdot 2.4) = 3.6 \)

   
   

   \( a^3 \cdot a^{-1} = a^{3 + (-1)} = a^{3-1} = a^2 \)

   
   

   \( b^{-2} \cdot b^3 = b^{-2 + 3} = b^1 = b \)

   
   

   Результат: \( 3.6 a^2 b \)

   
   


3. 
   

   в) Возводим дробь в степень, применяя правило \( (\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n} \) и \( (x^m)^n = x^{m \cdot n} \).

   
   

   \( (\frac{2}{3} a^{-4} b^{-3})^{-2} = \frac{(\frac{2}{3})^{-2}}{(a^{-4})^{-2} (b^{-3})^{-2}} \)

   
   

   \( (\frac{2}{3})^{-2} = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4} \)

   
   

   \( (a^{-4})^{-2} = a^{(-4) \cdot (-2)} = a^8 \)

   
   

   \( (b^{-3})^{-2} = b^{(-3) \cdot (-2)} = b^6 \)

   
   

   Результат: \( \frac{9}{4} \frac{1}{a^8 b^6} = \frac{9}{4a^8b^6} \)

   
   

Ответ: а) 3; б) 3.6a²b; в) \(\frac{9}{4a^8b^6}\).