5. Сократите дробь \(\frac{x^{-2} + x^{-5}}{x^{-6} + x^{-3}}\).

Решение:

Чтобы сократить дробь, приведём числитель и знаменатель к общему знаменателю, используя свойства степеней. Наименьший общий знаменатель для степеней \( x^{-2}, x^{-5} \) в числителе — \( x^{-5} \), а для \( x^{-6}, x^{-3} \) в знаменателе — \( x^{-6} \).

Числитель:

\( x^{-2} + x^{-5} = x^{-2} \cdot \frac{x^{-5}}{x^{-5}} + x^{-5} \)

\( = \frac{x^{-2} \cdot x^{-5}}{x^{-5}} + x^{-5} = \frac{x^{-7}}{x^{-5}} + x^{-5} \) — это не самый удобный способ. Давайте вынесем общий множитель за скобки.

Наименьшая степень в числителе — \( x^{-5} \). Вынесем её:

\( x^{-2} + x^{-5} = x^{-5} (x^{-2 - (-5)} + 1) = x^{-5} (x^{-2 + 5} + 1) = x^{-5} (x^3 + 1) \)

Знаменатель:

Наименьшая степень в знаменателе — \( x^{-6} \). Вынесем её:

\( x^{-6} + x^{-3} = x^{-6} (x^{-6 - (-6)} + x^{-3 - (-6)}) = x^{-6} (x^0 + x^{-3 + 6}) = x^{-6} (1 + x^3) \)

Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь:

\(\frac{x^{-2} + x^{-5}}{x^{-6} + x^{-3}} = \frac{x^{-5} (x^3 + 1)}{x^{-6} (x^3 + 1)}\)

Сокращаем общий множитель \( (x^3 + 1) \) (при условии \( x^3 + 1
e 0 \), то есть \( x
e -1 \)):

\(= \frac{x^{-5}}{x^{-6}}\)

Используя свойство степеней \(\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}\):

\(= x^{-5 - (-6)} = x^{-5 + 6} = x^1 = x \)

Ответ: x