1. В параллелограмме ABCD точка M является серединой стороны CD, а точка N делит сторону AB в отношении 1:2, считая от точки A. Выразите векторы AM, CN, MN через векторы a = BA и b = BC.

Для начала определим положение точек M и N на сторонах параллелограмма. M - середина CD, значит CM = 1/2 CD. N делит AB в отношении 1:2, то есть AN = 1/3 AB и NB = 2/3 AB. Так как ABCD - параллелограмм, то CD = BA = a, BC = AD = b. 1) **Вектор AM:** * AM = AC + CM * AC = AB + BC = a + b * CM = 1/2 CD = 1/2 a (так как CD = BA = a) * AM = a + b + 1/2 a = 3/2 a + b 2) **Вектор CN:** * CN = CB + BN * CB = -BC = -b * BN = 2/3 BA = 2/3 a * CN = -b + 2/3 a 3) **Вектор MN:** * MN = MA + AB + BN * MA = -AM = -3/2 a - b * AB = -a * BN = 2/3 a * MN = -3/2 a - b - a + 2/3 a = (-3/2 - 1 + 2/3)a - b = (-9/6 - 6/6 + 4/6)a - b = -11/6 a - b **Ответ:** * \( AM = \frac{3}{2}a + b \) * \( CN = \frac{2}{3}a - b \) * \( MN = -\frac{11}{6}a - b \)