4. Даны координаты вершин треугольника ABC: A(0; -1), B(2; 1), C(2; -1). a) Найдите длину медианы BD. b) Докажите, что треугольник ABC - равнобедренный и найдите его площадь.

a) Для нахождения длины медианы BD, сначала найдем координаты точки D, как середины отрезка AC. Координаты середины отрезка вычисляются как среднее арифметическое координат его концов: 1) \( D = (\frac{0+2}{2}; \frac{-1-1}{2}) = (1; -1) \) Теперь найдем координаты вектора BD: 2) \( \overrightarrow{BD} = D - B = (1 - 2; -1 - 1) = (-1; -2) \) Длина медианы BD: 3) \( |\overrightarrow{BD}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \) b) Найдем длины сторон треугольника, чтобы проверить, является ли он равнобедренным: 1) \( AB = \sqrt{(2 - 0)^2 + (1 - (-1))^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \) 2) \( BC = \sqrt{(2 - 2)^2 + (-1 - 1)^2} = \sqrt{0 + 4} = \sqrt{4} = 2 \) 3) \( AC = \sqrt{(2 - 0)^2 + (-1 - (-1))^2} = \sqrt{4 + 0} = \sqrt{4} = 2 \) Так как BC = AC, треугольник ABC равнобедренный. Теперь найдем площадь треугольника ABC. Воспользуемся формулой: S=1/2 * |(x1(y2-y3) + x2(y3-y1) + x3(y1-y2))|. Здесь A(x1, y1) = (0, -1), B(x2, y2) = (2, 1), C(x3, y3) = (2, -1). 4) S = 1/2 * |(0(1-(-1)) + 2(-1-(-1)) + 2(-1-1))| = 1/2 * |0 + 0 -4| = 1/2 * 4 = 2. **Ответ:** * a) Длина медианы BD: \( \sqrt{5} \) * b) Треугольник ABC равнобедренный (BC=AC=2). Площадь треугольника ABC равна 2.