1. В правильной треугольной призме диагональ боковой грани составляет со смежной боковой гранью угол φ. Высота основания призмы равна h. Найдите длину диагонали боковой грани призмы.

Пусть d — диагональ боковой прямоугольной грани. Расстояние от вершины основания, не принадлежащей общей стороне двух смежных боковых граней, до плоскости смежной грани равно высоте равностороннего треугольника, то есть h.

Угол между диагональю и плоскостью грани равен φ, поэтому синус этого угла есть отношение перпендикулярной составляющей к длине диагонали:

\(\sin\varphi=\dfrac{h}{d}\), откуда \(d=\dfrac{h}{\sin\varphi}\).

Ответ: \(\dfrac{h}{\sin\varphi}\).