6. В основании пирамиды лежит квадрат. Одна из боковых граней пирамиды перпендикулярна ее основанию, а две соседние с ней грани образуют с основанием двугранные углы по 30°. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если ее высота h.

Обозначим сторону основания через a, а перпендикулярную основанию боковую грань — гранью над стороной AB. Проекция вершины пирамиды на основание лежит на AB. В сечениях, перпендикулярных двум соседним сторонам основания, из углов 30° получаем расстояния от этой проекции до этих сторон, равные \(h/\tan30^\circ=\sqrt3h\). Эти расстояния в сумме дают сторону квадрата, поэтому \(a=2\sqrt3h\).

Площадь грани над AB равна \(ah/2\). У каждой из двух соседних граней высота к стороне основания равна \(\sqrt{h^2+(\sqrt3h)^2}=2h\), поэтому площадь каждой равна \(ah\). Высота противоположной боковой грани равна \(\sqrt{h^2+a^2}=\sqrt{13}h\), её площадь — \(a\sqrt{13}h/2\).

Итак, боковая площадь равна \(\frac{ah}{2}(5+\sqrt{13})\), а площадь основания — \(a^2\). Подставляя \(a=2\sqrt3h\), получаем:

\(S_{полн}=12h^2+(5+\sqrt{13})\sqrt3h^2=(12+5\sqrt3+\sqrt{39})h^2\).

Ответ: \((12+5\sqrt3+\sqrt{39})h^2\).