4. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 8 см, а двугранный угол при стороне основания равен 45°. Найдите площадь поверхности пирамиды и расстояние от вершины основания до противоположной боковой грани.

Рассмотрим сечение плоскостью, перпендикулярной стороне основания и проходящей через вершину пирамиды и центр основания. Радиус вписанной окружности равностороннего основания равен \(r=\frac{8\sqrt3}{6}=\frac{4\sqrt3}{3}\) см. Высота боковой грани l образует с основанием угол 45°, поэтому \(l=r/\cos45^\circ=\frac{4\sqrt6}{3}\) см.

Площадь боковой поверхности: \(S_{бок}=\frac12\cdot24\cdot l=16\sqrt6\) см². Площадь основания: \(S_{осн}=\frac{8^2\sqrt3}{4}=16\sqrt3\) см². Следовательно, \(S_{полн}=16\sqrt6+16\sqrt3\) см².

Для расстояния обозначим вершины основания A, B, C, а вершину пирамиды S. Возьмём координаты \(A=(0,0,0)\), \(B=(8,0,0)\), \(C=(4,4\sqrt3,0)\). Проекция S — центр основания, а высота пирамиды равна \(r\), поскольку угол при основании 45°; значит \(S=(4,4\sqrt3/3,4\sqrt3/3)\). Расстояние от A до плоскости SBC равно \(2\sqrt6\) см.

Ответ: площадь поверхности \(16(\sqrt6+\sqrt3)\) см²; расстояние \(2\sqrt6\) см.