1. В прямоугольном треугольнике один из углов равен 30°, радиус вписанной в него окружности равен 5 см. Найдите площадь треугольника.

1. В прямоугольном треугольнике с углами 30°, 60°, 90° стороны относятся как $$1:\sqrt{3}:2$$. Пусть катеты $$a$$ и $$b$$, гипотенуза $$c$$.

2. Радиус вписанной окружности $$r = \frac{a+b-c}{2}$$. Подставляем $$r=5$$: $$5 = \frac{a+b-c}{2}$$, $$a+b-c=10$$.

3. Пусть $$a=x$$, $$b=x\sqrt{3}$$, $$c=2x$$. Тогда $$x+x\sqrt{3}-2x=10$$, $$x(\sqrt{3}-1)=10$$, $$x = \frac{10}{\sqrt{3}-1} = \frac{10(\sqrt{3}+1)}{2} = 5(\sqrt{3}+1)$$.

4. Катеты: $$a = 5(\sqrt{3}+1)$$ и $$b = 5(\sqrt{3}+1)\sqrt{3} = 5(3+\sqrt{3})$$.

5. Площадь $$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \times 5(\sqrt{3}+1) \times 5(3+\sqrt{3}) = \frac{25}{2}(\sqrt{3}+1)(3+\sqrt{3}) = \frac{25}{2}(3\sqrt{3}+3+3+\sqrt{3}) = \frac{25}{2}(4\sqrt{3}+6) = 25(2\sqrt{3}+3)$$ кв. см.