2. Расстояния от центра вписанной в прямоугольную трапецию окружности до концов большей боковой стороны равны 6 и 8 см. Найдите площадь трапеции.

1. Пусть центр окружности O, концы большей боковой стороны A и B. Расстояния OA=6, OB=8.

2. В прямоугольной трапеции центр вписанной окружности равноудален от параллельных сторон. Радиус окружности $$r$$.

3. Рассмотрим треугольник, образованный центром окружности и концами большей боковой стороны. Пусть проекции O на стороны трапеции P и Q. Тогда OP=r, OQ=r.

4. В прямоугольном треугольнике с катетами $$r$$ и $$x$$ (часть боковой стороны), гипотенуза равна 6. $$r^2+x^2=36$$.

5. В прямоугольном треугольнике с катетами $$r$$ и $$y$$ (другая часть боковой стороны), гипотенуза равна 8. $$r^2+y^2=64$$.

6. Боковая сторона $$c = x+y$$. Также $$c=2r$$. $$4r^2 = (r^2+x^2) + (r^2+y^2) - 2r^2 = 36+64-2r^2 = 100-2r^2$$. $$6r^2=100$$, $$r^2=100/6=50/3$$. $$r=5\sqrt{2/3}$$.

7. $$x^2 = 36 - 50/3 = (108-50)/3 = 58/3$$. $$y^2 = 64 - 50/3 = (192-50)/3 = 142/3$$.

8. $$x=\sqrt{58/3}$$, $$y=\sqrt{142/3}$$. $$c = \sqrt{58/3} + \sqrt{142/3}$$.

9. Площадь трапеции $$S = \frac{a+b}{2}h = r(a+b)$$. $$a+b=2c$$. $$S=2rc$$.

10. $$S = 2 \times 5\sqrt{2/3} \times (\sqrt{58/3} + \sqrt{142/3}) = 10\sqrt{2/3} \times \frac{\sqrt{58}+\sqrt{142}}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{2}}{3}(\sqrt{58}+\sqrt{142})$$.