№1. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС на сторонах АВ и ВС отмечены точки М и К так, что АМ = СК. Докажите, что треугольники АМС и СКА равны.

Решение:

Чтобы доказать равенство треугольников АМС и СКА, воспользуемся признаками равенства треугольников.

1. Дано: \( \triangle ABC \) — равнобедренный, \( AC \) — основание. Точки \( M \) на \( AB \) и \( K \) на \( BC \) такие, что \( AM = CK \).
2. Доказать: \( \triangle AMC = \triangle CKA \).
3. Доказательство:
• Так как \( \triangle ABC \) — равнобедренный с основанием \( AC \), то \( AB = BC \) и \( \angle BAC = \angle BCA \).
• Из равенства \( AB = BC \) и данных условий \( AM = CK \) следует, что \( AB - AM = BC - CK \), то есть \( MB = BK \).
• Рассмотрим \( \triangle AMC \) и \( \triangle CKA \):
• \( AM = CK \) — по условию.
• \( \angle MAC = \angle KCA \) (или \( \angle BAC = \angle BCA \)) — как углы при основании равнобедренного треугольника.
• \( AC \) — общая сторона для обоих треугольников.
• По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) \( \triangle AMC = \triangle CKA \).

Доказано.