№6. * Периметр равнобедренного треугольника АВС с основанием АС равен 46 см. Высота BD делит его на два треугольника. Найдите длину высоты BD, если периметр треугольника ABD равен 34 см.

Решение:

Дано:

• \( \triangle ABC \) — равнобедренный, \( AC \) — основание.
• \( P_{ABC} = 46 \) см.
• \( BD \) — высота, \( BD \perp AC \).
• \( P_{ABD} = 34 \) см.

Найти: \( BD \).

Решение:

1. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Значит, \( AD = DC \).
2. Периметр \( \triangle ABC \): \( AB + BC + AC = 46 \).
3. Так как \( \triangle ABC \) равнобедренный, \( AB = BC \).
4. \( 2AB + AC = 46 \).
5. Периметр \( \triangle ABD \): \( AB + AD + BD = 34 \).
6. Высота \( BD \) делит основание \( AC \) пополам, поэтому \( AC = 2AD \).
7. Подставим \( AC = 2AD \) в уравнение периметра \( \triangle ABC \): \( 2AB + 2AD = 46 \).
8. Разделим обе части уравнения на 2: \( AB + AD = 23 \).
9. Теперь у нас есть два уравнения:
• \( AB + AD + BD = 34 \)
• \( AB + AD = 23 \)
10. Подставим значение \( (AB + AD) \) из второго уравнения в первое:
11. \( 23 + BD = 34 \)
12. \( BD = 34 - 23 \)
13. \( BD = 11 \) см.

Ответ: Длина высоты BD равна 11 см.