№3. Прямые т и п параллельны, k — секущая. Известно, что сумма двух внутренних накрест лежащих углов равна 140°. Найдите величины всех 8 углов. Сделайте рисунок.

Решение:

Пусть \( k \) — секущая, пересекающая параллельные прямые \( t \) и \( n \). Обозначим углы, образованные при пересечении. Внутренние накрест лежащие углы равны. Пусть это будут углы \( \angle 3 \) и \( \angle 5 \) (если нумеровать как в предыдущем задании, но с другими прямыми).

Дано: \( t \parallel n \), \( \angle 3 + \angle 5 = 140^{\circ} \).

По свойству параллельных прямых, внутренние накрест лежащие углы равны: \( \angle 3 = \angle 5 \).

Следовательно, \( 2 \cdot \angle 3 = 140^{\circ} \), откуда \( \angle 3 = \frac{140^{\circ}}{2} = 70^{\circ} \).

Значит, \( \angle 3 = 70^{\circ} \) и \( \angle 5 = 70^{\circ} \).

Теперь найдем остальные углы:

1. Углы 3 и 4 — смежные: \( \angle 4 = 180^{\circ} - \angle 3 = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ} \).
2. Углы 1 и 3 — вертикальные: \( \angle 1 = \angle 3 = 70^{\circ} \).
3. Углы 2 и 4 — вертикальные: \( \angle 2 = \angle 4 = 110^{\circ} \).
4. Углы 5 и 7 — вертикальные: \( \angle 7 = \angle 5 = 70^{\circ} \).
5. Углы 6 и 8 — вертикальные: \( \angle 6 = \angle 4 = 110^{\circ} \).
6. Углы 5 и 6 — смежные: \( \angle 6 = 180^{\circ} - \angle 5 = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ} \). (Соответствует найденному значению).
7. Углы 7 и 8 — смежные: \( \angle 8 = 180^{\circ} - \angle 7 = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ} \). (Соответствует найденному значению).

Рисунок: