1. В треугольнике ABC найдите: а) сторону BC, если AB = 2√2 см, ∠B = 105°, ∠C = 30°; б) угол A, если AB = 4√2 см, BC = 4 см, ∠C = 45°.

а) По теореме синусов:

\(\dfrac{BC}{\sin 105^\circ}=\dfrac{AB}{\sin 30^\circ}\).

Вычисление стороны BC по данным углам в условии невозможно однозначно, поскольку при \(\angle B=105^\circ\) и \(\angle C=30^\circ\) угол \(A=45^\circ\), а сторона AB находится напротив угла C:

\(BC=2\sqrt2\cdot\dfrac{\sin105^\circ}{\sin30^\circ}=4\sqrt2\sin105^\circ=\sqrt6+\sqrt2\text{ см}\).

б) По теореме синусов:

\(\dfrac{AB}{\sin C}=\dfrac{BC}{\sin A}\).

\(\sin A=\dfrac{BC\cdot\sin C}{AB}=\dfrac{4\cdot\frac{\sqrt2}{2}}{4\sqrt2}=\frac12\).

Так как сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), получаем \(\angle A=30^\circ\).

Ответ: а) \(\sqrt6+\sqrt2\) см; б) \(30^\circ\).