№ 1. В треугольнике АВС медианы CD и ВЕ пересекаются в точке К. Найдите площадь четырехугольника ADKE, если ВС = 20, AC = 12, ∠ACB = 135°.

Решение:

Площадь четырехугольника ADKE равна разности площади треугольника ABC и площади треугольника BKE.

Медианы делят треугольник на 6 равновеликих по площади треугольников. Площадь треугольника ABC равна $$2 \times$$ Площадь ADKE.

Площадь треугольника ABC находим по формуле: \( S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BC \sin(\angle ACB) \)

\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 20 \cdot \sin(135^{\circ}) = 120 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 60\sqrt{2} \]

Площадь четырехугольника ADKE равна половине площади треугольника ABC.

\[ S_{ADKE} = \frac{1}{2} S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 60\sqrt{2} = 30\sqrt{2} \]

Ответ: $$30\sqrt{2}$$.