№ 2. В треугольнике CDE CE = b, ∠C = a, ∠D = β. На стороне CE отмечена точка Р так, что ∠DPE = γ. Найдите DP.

Решение:

В треугольнике CDP, по теореме синусов:

\[ \frac{DP}{\sin(\angle C)} = \frac{CP}{\sin(\angle D)} \]

\[ DP = \frac{CP \cdot \sin(\angle C)}{\sin(\angle D)} = \frac{CP \cdot \sin(a)}{\sin(\beta)} \]

В треугольнике DPE, угол \( \angle DEP = 180^{\circ} - (\angle C + \angle D) = 180^{\circ} - (a + \beta) \).

Угол \( \angle CPE = 180^{\circ} - \angle DPE = 180^{\circ} - \gamma \).

В треугольнике CPE, по теореме синусов:

\[ \frac{CP}{\sin(\angle E)} = \frac{CE}{\sin(\angle CPE)} \]

\[ CP = \frac{CE \cdot \sin(\angle E)}{\sin(\angle CPE)} = \frac{b \cdot \sin(180^{\circ} - (a + \beta))}{\sin(180^{\circ} - \gamma)} = \frac{b \cdot \sin(a + \beta)}{\sin(\gamma)} \]

Подставляем CP в первое уравнение:

\[ DP = \frac{\frac{b \cdot \sin(a + \beta)}{\sin(\gamma)} \cdot \sin(a)}{\sin(\beta)} = \frac{b \cdot \sin(a) \cdot \sin(a + \beta)}{\sin(\beta) \cdot \sin(\gamma)} \]

Ответ: $$\frac{b \sin a \sin (a + \beta)}{\sin \beta \sin \gamma}$$.