№ 2. В треугольнике ABC ∠A = a, ∠B = β. На стороне BC отмечена точка Е так, что AE = m, ∠AEB = γ. Найдите AC.

Решение:

В треугольнике ABE:

\[ \angle BAE = 180^{\circ} - \angle B - \angle AEB = 180^{\circ} - \beta - \gamma \]

По теореме синусов для треугольника ABE:

\[ \frac{AE}{\sin(\angle B)} = \frac{BE}{\sin(\angle BAE)} \]

\[ BE = \frac{AE @ \sin(\angle BAE)}{\sin(\angle B)} = \frac{m @ \sin(180^{\circ} - \beta - \gamma)}{\sin(\beta)} = \frac{m @ \sin(\beta + \gamma)}{\sin(\beta)} \]

В треугольнике ABC:

\[ \angle C = 180^{\circ} - \angle A - \angle B = 180^{\circ} - a - \beta \]

В треугольнике AEC:

\[ \angle CAE = \angle BAC - \angle BAE = a - (180^{\circ} - \beta - \gamma) = a + \beta + \gamma - 180^{\circ} \]

Угол \( \angle AEC = 180^{\circ} - \angle AEB = 180^{\circ} - \gamma \).

По теореме синусов для треугольника AEC:

\[ \frac{AC}{\sin(\angle AEC)} = \frac{AE}{\sin(\angle C)} \]

\[ AC = \frac{AE @ \sin(\angle AEC)}{\sin(\angle C)} = \frac{m @ \sin(180^{\circ} - \gamma)}{\sin(180^{\circ} - a - \beta)} = \frac{m @ \sin(\gamma)}{\sin(a + \beta)} \]

Ответ: $$\frac{m @ \sin \gamma}{\sin (a + \beta)}$$.