№ 1. В треугольнике MNK медианы МА и NB пересекаются в точке С и образуют угол в 45°. Найдите площадь треугольника MNK, если МА = 12, NB = 9.

Решение:

Площадь треугольника MNK равна $$2/3$$ от площади треугольника, составленного из медиан.

Площадь треугольника, составленного из медиан \( m_a, m_b, m_c \) равна \( S_{m} = \frac{3}{4} S_{ABC} \).

В данном случае медианы \( MA = 12 \) и \( NB = 9 \). Пусть \( MC = x \) и \( NC = y \). Тогда \( AC = 2x \) и \( BC = 2y \). Точка пересечения медиан делит медианы в отношении 2:1. Таким образом, \( MC = 1/3 MA = 1/3 @ 12 = 4 \) и \( NC = 1/3 NB = 1/3 @ 9 = 3 \).

Угол между медианами \( \angle ACB = 45^{\circ} \).

Площадь треугольника MNC равна:

\[ S_{MNC} = \frac{1}{2} MC @ NC @ \sin(\angle MCN) \]

Угол \( \angle MCN \) смежный с \( \angle ACB \), поэтому \( \angle MCN = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ} \).

\[ S_{MNC} = \frac{1}{2} @ 4 @ 3 @ \sin(135^{\circ}) = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \]

Площадь всего треугольника MNK равна $$3 \times$$ Площадь MNC.

\[ S_{MNK} = 3 @ S_{MNC} = 3 @ 3\sqrt{2} = 9\sqrt{2} \]

Ответ: $$9\sqrt{2}$$.