1) В треугольнике АВС проведена биссектриса АК. Найдите градусную меру угла В, если ∠C = 25° и АК = СК.

Решение:

В треугольнике АВС проведена биссектриса АК. По условию АК = СК. Это означает, что треугольник АКС является равнобедренным.

• 
  

  Так как треугольник АКС равнобедренный, то углы при основании равны: ∠AKC = ∠CAK.

  
  


• 
  

  ∠AKC является внешним углом треугольника АВК. Значит, ∠AKC = ∠A + ∠B.

  
  


• 
  

  В треугольнике АВС ∠C = 25°. Так как АК — биссектриса, она делит ∠A пополам. Пусть ∠A = 2x, тогда ∠CAK = x.

  
  


• 
  

  Так как ∠AKC = ∠CAK, то ∠A + ∠B = x. Также, ∠A = 2x, следовательно, 2x + ∠B = x, что невозможно, так как углы должны быть положительными.

  
  


• 
  

  Пересмотрим условие. Если АК = СК, то ∠CAK = ∠C = 25°.

  
  


• 
  

  Поскольку АК — биссектриса, ∠BAC = 2 ∠CAK = 2 ∠C = 2 · 25° = 50°.

  
  


• 
  

  Сумма углов в треугольнике АВС равна 180°:

  
  

  ∠A + ∠B + ∠C = 180°

  
  

  50° + ∠B + 25° = 180°

  
  

  ∠B + 75° = 180°

  
  

  ∠B = 180° - 75° = 105°.

  
  

Ответ: 105°