4) Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 5/13. Диаметр описанной около него окружности равен 26. Найдите площадь прямоугольника.

Решение:

Диаметр описанной около прямоугольника окружности равен диагонали прямоугольника.

• 
  

  Диагональ прямоугольника (d) = 26.

  
  


• 
  

  Пусть стороны прямоугольника равны a и b. Диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из них.

  
  


• 
  

  Пусть угол между стороной b и диагональю d равен ∠α. По условию, синус этого угла равен 5/13.

  
  

  ∠α = arcsin(5/13)

  
  


• 
  

  В прямоугольном треугольнике синус угла — это отношение противолежащего катета (стороны a) к гипотенузе (диагонали d).

  
  

  ∠α = \(\frac{a}{d}\)

  
  

  \(\frac{5}{13}\) = \(\frac{a}{26}\)

  
  


• 
  

  Найдем сторону a:

  
  

  a = \(\frac{5}{13}\) \(\cdot\) 26 = 5 \(\cdot\) 2 = 10.

  
  


• 
  

  Теперь найдем сторону b, используя теорему Пифагора или косинус угла ∠α.

  
  

  ∠α = \(\frac{b}{d}\)

  
  

  Найдем косинус ∠α, зная синус:
  ∠α = \(\sqrt{1 - \sin^2∠α}\) = \(\sqrt\){1 - \(\frac{5}{13}\)^2} = \(\sqrt{1 - \frac{25}{169}}\) = \(\sqrt{\frac{144}{169}}\) = \(\frac{12}{13}\).

  
  

  Тогда b = d ⋅ ∠α = 26 ⋅ \(\frac{12}{13}\) = 2 ⋅ 12 = 24.

  
  


• 
  

  Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:

  
  

  S = a ⋅ b = 10 ⋅ 24 = 240.

  
  

Ответ: 240