1-й вариант, 2. В трапеции ABCD диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD и является биссектрисой угла A. Найдите длину AB, если периметр трапеции равен 35 см, ∠D = 60°.

Поскольку CD — боковая сторона, основания трапеции — AD и BC, они параллельны.

1. В треугольнике ACD угол ACD равен 90°, а угол ADC равен 60°. Поэтому ∠CAD = 30°.
2. AC — биссектриса угла A, значит, ∠BAC = ∠CAD = 30°. Следовательно, ∠BAD = 60°.
3. В прямоугольном треугольнике ACD с гипотенузой AD обозначим AD = x. Тогда CD = x/2, AC = √3x/2. Из соотношения параллельности AD и BC и указанных углов получается AB = BC = CD = x/2.
4. Периметр: x + 3x/2 = 35, откуда x = 14. Тогда AB = x/2 = 7 см.

Ответ: 7 см.