10.1 Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 90 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 45 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 4 часа 30 минут позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть \( v_в \) — скорость велосипедиста (км/ч), а \( v_а \) — скорость автомобилиста (км/ч).

1. Дано:
   • Расстояние \( S = 90 \) км
   • \( v_а = v_в + 45 \) км/ч
   • Время в пути велосипедиста \( t_в \) на 4 часа 30 минут больше времени в пути автомобилиста \( t_а \). \( 4 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 4.5 \) часа.
   • \( t_в = t_а + 4.5 \) ч
2. Найти: \( v_в \)
3. Решение:
   • Время в пути для каждого: \( t_в = \frac{S}{v_в} \) и \( t_а = \frac{S}{v_а} \).
   • Подставим в уравнение для времени: \( \frac{90}{v_в} = \frac{90}{v_а} + 4.5 \).
   • Заменим \( v_а \) на \( v_в + 45 \): \( \frac{90}{v_в} = \frac{90}{v_в + 45} + 4.5 \).
   • Разделим все члены уравнения на 4.5: \( \frac{20}{v_в} = \frac{20}{v_в + 45} + 1 \).
   • Приведём к общему знаменателю: \( \frac{20(v_в + 45) - 20v_в}{v_в(v_в + 45)} = 1 \).
   • \( 20v_в + 900 - 20v_в = v_в(v_в + 45) \).
   • \( 900 = v_в^2 + 45v_в \).
   • \( v_в^2 + 45v_в - 900 = 0 \).
   • Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = 45^2 - 4(1)(-900) = 2025 + 3600 = 5625 \).
   • \( \sqrt{D} = \sqrt{5625} = 75 \).
   • \( v_в = \frac{-45 \pm 75}{2} \).
   • Так как скорость не может быть отрицательной, берём положительный корень: \( v_в = \frac{-45 + 75}{2} = \frac{30}{2} = 15 \) км/ч.

Ответ: 15 км/ч.