10.5 Круизный лайнер следует из Москвы в Астрахань и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения реки составляет 2 км/ч, а его собственная скорость – 45 км/ч. Весь рейс занимает 95 часов. Сколько километров прошел круизный лайнер из Астрахани в Москву, если известно, что стоянка длится 5 часов?

Решение:

Пусть \( S \) — расстояние между Москвой и Астраханью (км). Скорость лайнера по течению (из Москвы в Астрахань, если река течет из Москвы в Астрахань) равна \( 45 + 2 = 47 \) км/ч. Скорость лайнера против течения (из Астрахани в Москву) равна \( 45 - 2 = 43 \) км/ч.

1. Дано:
   • Собственная скорость лайнера \( v_л = 45 \) км/ч
   • Скорость течения \( v_т = 2 \) км/ч
   • Общее время рейса = 95 часов
   • Время стоянки = 5 часов
2. Найти: Расстояние, которое прошел лайнер из Астрахани в Москву (это то же самое расстояние, что и из Москвы в Астрахань, т.е. \( S \)).
3. Решение:
   • Время движения лайнера = Общее время рейса - Время стоянки = 95 - 5 = 90 часов.
   • Время движения по течению (из Москвы в Астрахань): \( t_{по} = \frac{S}{v_л + v_т} = \frac{S}{45 + 2} = \frac{S}{47} \).
   • Время движения против течения (из Астрахани в Москву): \( t_{против} = \frac{S}{v_л - v_т} = \frac{S}{45 - 2} = \frac{S}{43} \).
   • Сумма времени движения: \( t_{по} + t_{против} = 90 \).
   • \( \frac{S}{47} + \frac{S}{43} = 90 \).
   • Приведём к общему знаменателю: \( \frac{43S + 47S}{47 \cdot 43} = 90 \).
   • \( \frac{90S}{2021} = 90 \).
   • \( 90S = 90 \cdot 2021 \).
   • \( S = 2021 \) км.

Ответ: 2021 км.