10.4 Моторная лодка вышла из города А в город В вниз по реке в 14:00. Простояв там 2,5 часа, она вернулась в пункт А в 3:00 следующего дня. Скорость течения реки равна 6 км/ч. Найдите собственную скорость моторной лодки, если расстояние между городами равно 60 км. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть \( v_л \) — собственная скорость моторной лодки (км/ч). Скорость лодки по течению равна \( v_л + 6 \) км/ч, а против течения — \( v_л - 6 \) км/ч.

1. Дано:
   • Расстояние \( S = 60 \) км
   • Скорость течения \( v_т = 6 \) км/ч
   • Время отбытия из А: 14:00
   • Время прибытия в А: 3:00 следующего дня
   • Время стоянки: 2,5 часа
2. Найти: \( v_л \)
3. Решение:
   • Общее время в пути лодки (без учёта стоянки):
     • От 14:00 до 00:00 = 10 часов.
     • От 00:00 до 3:00 = 3 часа.
     • Общее время в пути = 10 + 3 = 13 часов.
     • Время в пути (с учётом стоянки) = 13 часов.
     • Общее время, затраченное на рейс (туда и обратно, включая стоянку) = 13 часов.
     • Время движения лодки = Общее время - Время стоянки = 13 - 2.5 = 10.5 часов.
   • Время движения по течению (из А в В): \( t_{по} = \frac{S}{v_л + v_т} = \frac{60}{v_л + 6} \).
   • Время движения против течения (из В в А): \( t_{против} = \frac{S}{v_л - v_т} = \frac{60}{v_л - 6} \).
   • Сумма времени движения: \( t_{по} + t_{против} = 10.5 \).
   • \( \frac{60}{v_л + 6} + \frac{60}{v_л - 6} = 10.5 \).
   • Разделим всё на 10.5: \( \frac{60}{10.5(v_л + 6)} + \frac{60}{10.5(v_л - 6)} = 1 \).
   • \( \frac{600}{105(v_л + 6)} + \frac{600}{105(v_л - 6)} = 1 \).
   • \( \frac{40}{7(v_л + 6)} + \frac{40}{7(v_л - 6)} = 1 \).
   • \( \frac{40(v_л - 6) + 40(v_л + 6)}{7(v_л + 6)(v_л - 6)} = 1 \).
   • \( \frac{40v_л - 240 + 40v_л + 240}{7(v_л^2 - 36)} = 1 \).
   • \( \frac{80v_л}{7(v_л^2 - 36)} = 1 \).
   • \( 80v_л = 7(v_л^2 - 36) \).
   • \( 80v_л = 7v_л^2 - 252 \).
   • \( 7v_л^2 - 80v_л - 252 = 0 \).
   • Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-80)^2 - 4(7)(-252) = 6400 + 7056 = 13456 \).
   • \( \sqrt{D} = \sqrt{13456} = 116 \).
   • \( v_л = \frac{80 \pm 116}{2 \cdot 7} = \frac{80 \pm 116}{14} \).
   • Так как скорость лодки не может быть отрицательной, берём положительный корень: \( v_л = \frac{80 + 116}{14} = \frac{196}{14} = 14 \) км/ч.

Ответ: 14 км/ч.