10.3 Моторная лодка прошла против течения 150 км, затем вернулась в пункт назначения. На обратный путь потребовалось на 4 часа меньше. Найдите скорость течения, если скорость моторной лодки в неподвижной воде составляет 20 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть \( v_т \) — скорость течения реки (км/ч). Скорость лодки против течения равна \( 20 - v_т \) км/ч, а по течению — \( 20 + v_т \) км/ч.

1. Дано:
   • Расстояние \( S = 150 \) км
   • Скорость лодки в неподвижной воде \( v_л = 20 \) км/ч
   • Время в пути по течению на 4 часа меньше, чем против течения.
2. Найти: \( v_т \)
3. Решение:
   • Время движения против течения: \( t_{против} = \frac{S}{v_л - v_т} = \frac{150}{20 - v_т} \).
   • Время движения по течению: \( t_{по} = \frac{S}{v_л + v_т} = \frac{150}{20 + v_т} \).
   • По условию \( t_{против} - t_{по} = 4 \).
   • \( \frac{150}{20 - v_т} - \frac{150}{20 + v_т} = 4 \).
   • Разделим все члены на 2: \( \frac{75}{20 - v_т} - \frac{75}{20 + v_т} = 2 \).
   • Приведём к общему знаменателю: \( \frac{75(20 + v_т) - 75(20 - v_т)}{(20 - v_т)(20 + v_т)} = 2 \).
   • \( \frac{1500 + 75v_т - 1500 + 75v_т}{400 - v_т^2} = 2 \).
   • \( \frac{150v_т}{400 - v_т^2} = 2 \).
   • \( 150v_т = 2(400 - v_т^2) \).
   • \( 150v_т = 800 - 2v_т^2 \).
   • \( 2v_т^2 + 150v_т - 800 = 0 \).
   • \( v_т^2 + 75v_т - 400 = 0 \).
   • Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = 75^2 - 4(1)(-400) = 5625 + 1600 = 7225 \).
   • \( \sqrt{D} = \sqrt{7225} = 85 \).
   • \( v_т = \frac{-75 \pm 85}{2} \).
   • Так как скорость течения не может быть отрицательной, берём положительный корень: \( v_т = \frac{-75 + 85}{2} = \frac{10}{2} = 5 \) км/ч.

Ответ: 5 км/ч.