10. (2 балла) Через концы отрезка АВ и его середину М проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость в точках А₁, В₁ и М₁. Найдите длину отрезка ММ₁, если отрезок АВ не пересекает плоскость и если АА₁=12,5см, ВВ₁=25,7см.

Решение:

Рассмотрим сечение плоскости вместе с параллельными прямыми, проходящими через А, В, М. Это даст нам трапецию (или параллелограмм, если АА₁ || ВВ₁).

По условию, прямые, проходящие через А, В, М, параллельны. Точки А₁, В₁, М₁ лежат на некоторой плоскости.

Так как АА₁, ВВ₁ и ММ₁ параллельны, и М — середина отрезка АВ, то отрезок ММ₁ является средней линией трапеции АА₁В₁В.

Длина средней линии трапеции равна полусумме оснований.

\( MM_1 = \frac{AA_1 + BB_1}{2} \)

Подставим известные значения:

\( AA_1 = 12.5 \text{ см} \)

\( BB_1 = 25.7 \text{ см} \)

\( MM_1 = \frac{12.5 + 25.7}{2} \)

\( MM_1 = \frac{38.2}{2} \)

\( MM_1 = 19.1 \text{ см} \)

Ответ: 19,1 см.