11. (2 балла) Прямоугольный треугольник с катетами 14см и 48см вращается вокруг большей стороны. Найдите площадь его боковой поверхности полученного тела.

Решение:

При вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов получается конус.

В данном случае, треугольник вращается вокруг большей стороны, которая является катетом. Значит, образующая конуса \( l \) будет равна гипотенузе прямоугольного треугольника, а радиус основания конуса \( r \) будет равен меньшему катету.

Катеты: \( a = 14 \text{ см} \), \( b = 48 \text{ см} \).

Больший катет — 48 см. Вращение происходит вокруг него. Следовательно, высота конуса \( h = 48 \text{ см} \), а радиус основания \( r = 14 \text{ см} \).

Чтобы найти площадь боковой поверхности конуса, нам нужна длина его образующей \( l \). Мы находим гипотенузу прямоугольного треугольника по теореме Пифагора:

\( l^2 = a^2 + b^2 \)

\( l^2 = 14^2 + 48^2 \)

\( l^2 = 196 + 2304 \)

\( l^2 = 2500 \)

\( l = \sqrt{2500} = 50 \text{ см} \).

Теперь найдем площадь боковой поверхности конуса по формуле:

\( S_{бок} = \pi r l \)

\( S_{бок} = \pi \times 14 \text{ см} \times 50 \text{ см} \)

\( S_{бок} = 700 \pi \text{ см}^2 \).

Ответ: \( 700 \pi \text{ см}^2 \).