9. (2 балла) Найдите экстремумы функции у = 2x² - 12x + 1

Решение:

Чтобы найти экстремумы функции, нужно найти её производную и приравнять её к нулю.

Функция: \( y = 2x^2 - 12x + 1 \).

Найдем первую производную функции:

\( y' = \frac{d}{dx}(2x^2 - 12x + 1) \)

\( y' = 2 \cdot 2x - 12 \)

\( y' = 4x - 12 \)

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\( 4x - 12 = 0 \)

\( 4x = 12 \)

\( x = \frac{12}{4} \)

\( x = 3 \)

Теперь найдём значение функции в этой точке, чтобы определить экстремум:

\( y(3) = 2(3)^2 - 12(3) + 1 \)

\( y(3) = 2(9) - 36 + 1 \)

\( y(3) = 18 - 36 + 1 \)

\( y(3) = -18 + 1 \)

\( y(3) = -17 \)

Чтобы определить, является ли эта точка минимумом или максимумом, найдём вторую производную:

\( y'' = \frac{d}{dx}(4x - 12) = 4 \)

Так как вторая производная \( y'' = 4 > 0 \), то точка \( x=3 \) является точкой минимума.

Ответ: Точка минимума находится в \( x = 3 \), значение функции в этой точке \( y = -17 \).