10.21. Из точки A к плоскости α проведены наклонные AB и AC, образующие со своими проекциями на данную плоскость углы по 30°. Найдите данные наклонные и расстояние от точки A до плоскости α, если угол между проекциями наклонных равен 90°, а расстояние между основаниями наклонных равно 6 см.

Пусть H — основание перпендикуляра из A к плоскости α. Тогда BH и CH — проекции наклонных, а треугольник BHC прямоугольный при H. Из угла 30° между наклонной и проекцией следует, что \(BH=AH/\tan 30^\circ=\sqrt{3}AH\), и так же \(CH=\sqrt{3}AH\).

По теореме Пифагора: \(BC^2=BH^2+CH^2=6AH^2\). Так как \(BC=6\), получаем \(AH^2=6\), значит \(AH=\sqrt{6}\) см.

В прямоугольном треугольнике AHB: \(AB=AH/\sin 30^\circ=2\sqrt{6}\) см. Аналогично \(AC=2\sqrt{6}\) см.

Ответ: \(AB=AC=2\sqrt{6}\) см; расстояние от A до плоскости α равно \(\sqrt{6}\) см.