10.24. Точка M равноудалена от вершин треугольника ABC и удалена от плоскости ABC на расстояние d. Найдите расстояние от точки M до вершин данного треугольника, если BC = a, ∠BAC = α.

Пусть H — проекция M на плоскость ABC. Из равенства расстояний от M до вершин следует, что HA=HB=HC; значит, H — центр описанной окружности треугольника ABC. Поэтому искомое расстояние равно \(MA=\sqrt{d^2+R^2}\), где R — радиус описанной окружности.

По теореме синусов для стороны BC, лежащей напротив угла BAC, \(a=2R\sin\alpha\), откуда \(R=a/(2\sin\alpha)\).

Ответ: \(MA=MB=MC=\sqrt{d^2+\dfrac{a^2}{4\sin^2\alpha}}\).