10.25. В треугольнике ABC известно, что AB = BC = 4√5 см, AC = 8 см. Точка D расположена на расстоянии 5√5 см от каждой вершины треугольника ABC. Найдите расстояние от точки D до плоскости ABC.

Пусть H — проекция D на плоскость ABC. Так как DA=DB=DC, точка H является центром описанной окружности треугольника ABC.

Треугольник равнобедренный: AB=BC=4\(\sqrt{5}\), основание AC=8. Высота к основанию делит AC пополам, получаются половины по 4 см. Высота равна \(\sqrt{(4\sqrt{5})^2-4^2}=\sqrt{80-16}=8\) см. Площадь треугольника равна \(S=8\cdot 8/2=32\) см².

Радиус описанной окружности: \(R=AB\cdot BC\cdot AC/(4S)=(4\sqrt{5}\cdot4\sqrt{5}\cdot8)/(128)=5\) см.

В прямоугольном треугольнике DHA: \(DH=\sqrt{DA^2-HA^2}=\sqrt{(5\sqrt{5})^2-5^2}=10\) см.

Ответ: 10 см.