10.23. Катеты прямоугольного треугольника ABC (∠ACB = 90°) равны 6 см и 8 см. Точка D удалена от каждой вершины данного треугольника на 13 см. Найдите расстояние от точки D до плоскости ABC.

Пусть H — проекция D на плоскость ABC. Равенство DA=DB=DC означает, что H равноудалена от A, B и C, то есть является центром описанной окружности треугольника ABC.

Гипотенуза равна \(AB=\sqrt{6^2+8^2}=10\) см. У прямоугольного треугольника радиус описанной окружности равен половине гипотенузы: \(HA=5\) см.

В прямоугольном треугольнике DHA: \(DH=\sqrt{DA^2-HA^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12\) см.

Ответ: 12 см.