10. (3 балла) Решите систему уравнений { 2(3x+2y)+9=4x+21 { 3-(6x+5y)=2x+10

Решение:

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в каждом уравнении системы.

Первое уравнение:

\[ 2(3x + 2y) + 9 = 4x + 21 \]\[ 6x + 4y + 9 = 4x + 21 \]\[ 6x - 4x + 4y = 21 - 9 \]\[ 2x + 4y = 12 \]

Упростим это уравнение, разделив на 2:

\[ x + 2y = 6 \]

Второе уравнение:

\[ 3 - (6x + 5y) = 2x + 10 \]\[ 3 - 6x - 5y = 2x + 10 \]\[ -6x - 2x - 5y = 10 - 3 \]\[ -8x - 5y = 7 \]

Теперь у нас есть новая, упрощенная система уравнений:

\[ \begin{cases} x + 2y = 6 \\ -8x - 5y = 7 \end{cases} \]

Выразим \( x \) из первого уравнения:

\[ x = 6 - 2y \]

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[ -8(6 - 2y) - 5y = 7 \]\[ -48 + 16y - 5y = 7 \]\[ 11y = 7 + 48 \]\[ 11y = 55 \]\[ y = \frac{55}{11} \]\[ y = 5 \]

Теперь найдём \( x \), подставив значение \( y = 5 \) в выражение для \( x \):

\[ x = 6 - 2(5) \]\[ x = 6 - 10 \]\[ x = -4 \]

Проверим решение, подставив \( x = -4 \) и \( y = 5 \) в исходные уравнения:

Первое уравнение: \( 2(3 \cdot (-4) + 2 \cdot 5) + 9 = 2(-12 + 10) + 9 = 2(-2) + 9 = -4 + 9 = 5 \). Правая часть: \( 4 \cdot (-4) + 21 = -16 + 21 = 5 \). Равно.

Второе уравнение: \( 3 - (6 \cdot (-4) + 5 \cdot 5) = 3 - (-24 + 25) = 3 - 1 = 2 \). Правая часть: \( 2 \cdot (-4) + 10 = -8 + 10 = 2 \). Равно.

Ответ: \( x = -4, y = 5 \).