10.5. Сколько решений имеет система уравнений: а) \(\begin{cases}x^2+y^2=1,\\y=x;\end{cases}\) б) \(\begin{cases}y=2x-1,\\(x-1)^2+(y+2)^2=9;\end{cases}\) в) \(\begin{cases}x^2+y^2=4,\\y=x^2-2;\end{cases}\) г) \(\begin{cases}(x+2)^2+(y-2)^2=1,\\y=\sqrt{x+1}.\end{cases}\)

а) Подставим \(y=x\): \(2x^2=1\), откуда есть два действительных значения \(x=\pm\frac{1}{\sqrt2}\). Значит, решений 2.

б) Подставим \(y=2x-1\): \((x-1)^2+(2x+1)^2=9\), то есть \(5x^2+2x-7=0\). Дискриминант положителен, корни \(x=1\) и \(x=-\frac75\), поэтому решений 2.

в) Подставим \(y=x^2-2\). Обозначив \(t=x^2\ge0\), получим \(t+(t-2)^2=4\), то есть \(t^2-3t=0\). Следовательно, \(t=0\) или \(t=3\): это даёт три точки пересечения, \((0;-2)\) и \((\pm\sqrt3;1)\).

г) Область определения корня требует \(x\ge-1\), и тогда \(y\ge0\). В окружности с центром \((-2;2)\) и радиусом 1 при \(x\ge-1\) возможно только \(x=-1\), где окружность даёт \(y=2\). Но график корня при \(x=-1\) имеет \(y=0\). Пересечений нет.

Ответ: а) 2; б) 2; в) 3; г) 0.