10. ABCDA₁B₁C₁D₁ — прямоугольный параллелепипед, AA₁ = 6, AB = AD = 4. Найдите ∠(A₁D, AB₁).

Рассмотрим векторы:

\(\vec{DA₁}=(-4.0.6)\), \(\vec{AB₁}=(0.4.6)\).

Скалярное произведение:

\(\vec{DA₁}\cdot\vec{AB₁}=(-4)\cdot0+0\cdot4+6\cdot6=36\).

Длины:

\(|DA₁|=\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13}\), \(|AB₁|=\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13}\).

Тогда

\(\cos\alpha=\dfrac{36}{(2\sqrt{13})^2}=\dfrac{36}{52}=\dfrac{9}{13}\).

Следовательно, \(\alpha=\arccos\dfrac{9}{13}\approx46.2°\).

Ответ: \(\arccos\dfrac{9}{13}\approx46.2°\).