7. MABCD — правильная пирамида, AB = MC = 4. Найдите ∠(CM, AK).

В правильной пирамиде основание ABCD — квадрат со стороной AB = 4. По рисунку K — середина бокового ребра MC.

Введём координаты: A(-2.-2.0), C(2.2.0), M(0.0.2√2). Тогда K(1.1.√2).

Направляющие векторы:

\(\vec{CM}=(-2.-2.2\sqrt{2})\), \(\vec{AK}=(3.3.\sqrt{2})\).

Их скалярное произведение:

\(\vec{CM}\cdot\vec{AK}=-6-6+4=-8\).

Длины векторов: \(|CM|=4\), \(|AK|=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\).

\(\cos\alpha=\dfrac{|-8|}{4\cdot2\sqrt{5}}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\).

Следовательно, \(\alpha=\arccos\dfrac{1}{\sqrt{5}}\approx63.4°\).

Ответ: \(\arccos\dfrac{1}{\sqrt{5}}\approx63.4°\).