10) A Дано: $$\triangle ABC$$, \( \angle C = 90^{\circ} \), \( CD \perp AB \), $$AC = 5$$, $$BC = 10$$. Найти: $$AD$$.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC:

1. Найдем гипотенузу AB по теореме Пифагора: \( AB^2 = AC^2 + BC^2 = 5^2 + 10^2 = 25 + 100 = 125 \). \( AB = \sqrt{125} = 5\sqrt{5} \).
2. Найдем высоту CD. Площадь треугольника ABC равна \( S = \frac{1}{2} AC \cdot BC = \frac{1}{2} AB \cdot CD \). \( \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 10 = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{5} \cdot CD \). \( 25 = \frac{5\sqrt{5}}{2} CD \). \( CD = \frac{25 \cdot 2}{5\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5} \).
3. В прямоугольном треугольнике ADC: \( AD^2 = AC^2 - CD^2 = 5^2 - (2\sqrt{5})^2 = 25 - 20 = 5 \). \( AD = \sqrt{5} \).

Ответ: $$AD = \sqrt{5}$$.