11) C Дано: $$\triangle ABC$$, \( \angle C = 90^{\circ} \), \( CD \perp AB \), $$AC = 16$$, $$BC = 8$$. Найти: $$AD$$.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC:

1. Найдем гипотенузу AB по теореме Пифагора: \( AB^2 = AC^2 + BC^2 = 16^2 + 8^2 = 256 + 64 = 320 \). \( AB = \sqrt{320} = 8\sqrt{5} \).
2. Найдем высоту CD. Площадь треугольника ABC равна \( S = \frac{1}{2} AC \cdot BC = \frac{1}{2} AB \cdot CD \). \( \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 8 = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{5} \cdot CD \). \( 64 = 4\sqrt{5} CD \). \( CD = \frac{64}{4\sqrt{5}} = \frac{16}{\sqrt{5}} = \frac{16\sqrt{5}}{5} \).
3. В прямоугольном треугольнике ADC: \( AD^2 = AC^2 - CD^2 = 16^2 - (\frac{16\sqrt{5}}{5})^2 = 256 - \frac{256 \cdot 5}{25} = 256 - \frac{256}{5} = \frac{1280 - 256}{5} = \frac{1024}{5} \). \( AD = \sqrt{\frac{1024}{5}} = \frac{32}{\sqrt{5}} = \frac{32\sqrt{5}}{5} \).

Ответ: $$AD = \frac{32\sqrt{5}}{5}$$.