9) D Дано: $$\triangle ABC$$, \( \angle C = 90^{\circ} \), \( \angle B = 60^{\circ} \), \( CD \perp AB \), $$AC = 16$$. Найти: $$AD, CD$$.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC:

1. Найдем \( \angle BAC \): \( \angle BAC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).
2. Найдем гипотенузу AB: \( AB = \frac{AC}{\cos(\angle BAC)} = \frac{16}{\cos(30^{\circ})} = \frac{16}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{32}{\sqrt{3}} = \frac{32\sqrt{3}}{3} \).
3. Найдем катет BC: \( BC = AC \cdot \text{tg}(\angle BAC) = 16 \cdot \text{tg}(30^{\circ}) = 16 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3} \).
4. В прямоугольном треугольнике ADC: \( \angle ACD = 90^{\circ} - \angle CAD = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).
5. Найдем катет AD: \( AD = AC \cdot \cos(\angle BAC) = 16 \cdot \cos(30^{\circ}) = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3} \).
6. Найдем катет CD: \( CD = AC \cdot \sin(\angle BAC) = 16 \cdot \sin(30^{\circ}) = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8 \).

Ответ: $$AD = 8\sqrt{3}$$, $$CD = 8$$.