10. Докажите, что из 2021 полосок бумаги шириной 1 и длинами 1, 2, 3, …, 2021 можно составить прямоугольник, длина и ширина которого больше 1.

Составим полоски в ряды длиной 2021.

Попарно объединим полоски с длинами \(1\) и \(2020\), \(2\) и \(2019\), …, \(1000\) и \(1021\). Получится 1000 рядов длиной 2021.

Останутся полоски длиной \(1001,1002,\ldots,1020,2021\). Полоска длиной 2021 образует ещё один ряд, а остальные разобьём на пары: \((1001,1020),(1002,1019),\ldots,(1010,1011)\). Это ещё 10 рядов длиной 2021.

Итого получаем \(1000+1+10=1011\) рядов, каждый длиной 2021. Они образуют прямоугольник со сторонами 2021 и 1011.

Ответ: можно составить прямоугольник размером \(2021\times1011\).