12. Имеется 37 карточек, каждая из которых выкрашена с одной стороны в зелёный, а с другой — в синий цвет. Карточки разложены подряд так, что у 9 карточек сверху оказался синий цвет. За один ход разрешается перевернуть любые 20 карточек. Можно ли за несколько ходов добиться того, чтобы полоса стала полностью зелёной? А полностью синей? Если можно, то какое наименьшее число ходов потребуется для этого?

За один ход переворачиваются 20 карточек. Если среди них \(k\) синих, число синих карточек изменяется на \(20-2k\), то есть на чётное число.

Следовательно, чётность числа синих карточек не меняется. Изначально синих карточек 9 — нечётное количество.

Полностью зелёная полоса содержит 0 синих карточек, а полностью синяя — 37 синих карточек; оба числа чётные или имеют другую чётность относительно исходного числа: 0 чётно, 37 нечётно. Поэтому полностью зелёной стать нельзя, а полностью синей теоретически чётность допускает, но за один ход число перевёрнутых карточек не позволяет изменить 9 до 37: нужно увеличить число синих на 28, то есть иметь суммарно на 14 больше переворотов зелёных, чем синих. Однако каждый ход переворачивает 20 карточек, и после достижения всех синих последний ход должен перевернуть 20 зелёных, которых перед ним было бы не менее 20; при 17 синих это невозможно согласовать с изменением на 20. Более простой инвариант: число зелёных также меняется на чётное число, а изначально зелёных 28; для полностью синей полосы нужно 0 зелёных, но за ход изменение числа зелёных равно \(2k-20\), и при 37 карточках конечное состояние недостижимо из-за невозможности перевернуть ровно нужный набор на последнем шаге.

Ответ: ни полностью зелёной, ни полностью синей полосы получить нельзя.