9. Числа a, b и c таковы, что выражения (a+b)/c, (b+c)/a и (a+c)/b принимают одинаковое значение. Какое это может быть значение? Приведите все возможные варианты и докажите, что других нет.

Пусть общее значение равно \(x\), а \(S=a+b+c\). Тогда:

\(a+b=xc\), \(b+c=xa\), \(a+c=xb\).

Складывая равенства, получаем \(2S=xS\).

Если \(S\neq0\), то \(x=2\). При этом из системы следует \(a=b=c\).

Если \(S=0\), то \(a+b=-c\), \(b+c=-a\), \(a+c=-b\), поэтому \(x=-1\).

Оба значения достигаются: при \(a=b=c\neq0\) получаем 2; при \(a+b+c=0\) и ненулевых знаменателях получаем −1.

Ответ: 2 и −1.