10. Докажите, что значение выражения \(10^{27}+10^{15}+7\) кратно 9.

При делении на 9 число 10 даёт остаток 1. Поэтому любые его натуральные степени также дают остаток 1: \(10^{27}\equiv1\pmod 9\) и \(10^{15}\equiv1\pmod 9\).

Тогда \(10^{27}+10^{15}+7\equiv1+1+7=9\equiv0\pmod 9\). Значит, выражение делится на 9.

Что и требовалось доказать.