10. (Дополнительная задача.) В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы при вершинах A и B равны \(\alpha\) и \(\beta\). Найдите угол COD между биссектрисами углов при вершинах C и D.

Обозначим углы четырёхугольника при C и D через \(\gamma\) и \(\delta\). Сумма углов четырёхугольника равна \(360^\circ\), поэтому \(\gamma+\delta=360^\circ-(\alpha+\beta)\).

В треугольнике COD углы при C и D равны соответственно \(\gamma/2\) и \(\delta/2\), поскольку CO и DO — биссектрисы.

Тогда \(\angle COD=180^\circ-(\gamma/2+\delta/2)=180^\circ-(\gamma+\delta)/2\).

Подставляя сумму \(\gamma+\delta\), получаем \(\angle COD=180^\circ-[360^\circ-(\alpha+\beta)]/2=(\alpha+\beta)/2\).

Ответ: \(\angle COD=\dfrac{\alpha+\beta}{2}\).